Hằng đẳng thức là gì? 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (có ví dụ)

Rate this post

Xin chào toàn bộ những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua, thời gian ngày hôm nay tổng thể toàn bộ chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về những hằng đẳng thức đáng nhớ và những ứng dụng cơ dòng của chúng.

trước tiên mình sẽ trình diễn về định nghĩa, tiếp này sẽ liệt kê ra một số trong những ứng dụng vượt trội, liệt kê ra những hằng đẳng thức (cơ dòng, mở rộng và tổng quát) và ở đầu cuối là với ví dụ minh họa. Thế từng từng từng ok không nhỉ 🙂

Trong bốn phần vừa tung ra thì phần liệt kê những hằng đẳng thức và ví dụ minh họa là quan trọng nhất, những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua nhớ để nhiều thời hạn với phần nội dung này nhé.

I. Hằng đẳng thức là gì?

Trước lúc tìm hiểu định nghĩa về hằng đẳng thức thì tổng thể toàn bộ chúng ta sử dụng thử phương pháp định nghĩa đẳng thức trước. Như vậy những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua sẽ nắm vững về dòng chất hơn !

Đẳng thức là cặp biểu thức tiếp nối với nhau bởi dấu =

Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi trị số gán với những chữ Trong số đó.

vẫn vẫn theo Wikipedia định nghĩa thì: Hằng đẳng thức nghĩa là một loạt những đẳng thức có tương quan tới nhau, hợp lại thành một hằng đẳng thức.

Ví dụ: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là một hằng đẳng thức vì …

    • Biểu thức $(a+b)^2$ và biểu thức $a^2+2ab+b^2$ được nối với nhau bởi dấu =
    • Với mọi giá trị của a, b thì đẳng thức luôn đúng.

vẫn vẫn $frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$ không là một hằng đẳng thức vì hai biểu thức không được nối với nhau bởi dấu =

II. Hằng đẳng thức sử dụng để triển khai gì?

Hằng đẳng thức được ứng dụng thật nhiều trong Toán học, vượt trội nhất là …

  • Phân tích đa thức thành nhân tử.
  • Tính giá trị biểu thức.
  • Giải hệ phương trình đối xứng.

III. những hằng đẳng thức đáng nhớ

Có thật nhiều hằng đẳng thức khác nữa, tại đó tôi chỉ liệt kê những hằng đẳng thức thường gặp trong ứng dụng sách giáo khoa và tạm chia chúng thành ba nhóm.

#một. những hằng đẳng thức cơ dòng

những hằng đẳng thức này rất cơ dòng, rất thường gặp lúc giải toán, vậy nên những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua nên phải ghi nhớ chúng như ghi nhớ bảng cửu chương nhé.

  1. Bình phương của một tổng $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. Bình phương của một hiệu $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  3. Hiệu hai bình phương $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
  4. Lập phương của một tổng $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  5. Lập phương của một hiệu $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
  6. Tổng hai lập phương $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  7. Hiệu hai lập phương $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

theo dõi:

  • những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua hãy thử viết gộp hằng đẳng thức thứ nhất – thứ hai, thứ bốn – thứ 5, thứ 6 – thứ 7 với nhau.
  • hãy thử tùy từng tam giác Pascal để viết những hằng đẳng thức số một, 2, bốn, 5
  • tại đó tôi chỉ viết theo phương pháp viết thường gặp nhất, trong thực hành thực tế những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua sử dụng thử phương pháp sử dụng một phương pháp linh hoạt $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ hoặc $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ hoặc $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

#2. những hằng đẳng thức mở rộng

Dưới đó là những hằng đẳng thức mở rộng thường gặp, nếu những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua hãy thử nhớ được những hằng đẳng thức này thì quả là một yếu tố tuyệt vời.

  • $(a+b)^bốn=a^{bốn}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{bốn}$
  • $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
  • $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$
  • $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

#3. những hằng đẳng thức tổng quát

Phàm cái gì tổng quát thì sẽ khó hiểu và khó nhớ. Tuy nhiên, nếu hãy thử nhớ và hiểu được thì những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua không sử dụng thử phương pháp nhớ những trường hợp rõ ràng và đơn cử.

  • $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-một}+a^{n-2}b+ cdots +ab^{n-2}+b^{n-một})$ xác lập n là một số trong những tự động hóa nhiên bất kì
  • $(a+b)^n=sum^n_{k=0}C^k_na^{n-k}b^k$ với $C^k_n=frac{n!}{k!(n-k)!}, k=0, một, 2, cdots, n$

theo dõi

  • không tồn tại hằng đẳng thức $a^n+b^n$ với trường hợp n là một số trong những tự động hóa nhiên bất kỳ.
  • lúc sử dụng thử phương pháp khai triển biểu thức $(a-b)^n$ thì những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua hãy xem nó là $[a+(-b)]^n$ rồi tiến hành khai triển.

IV. Bài tập ví dụ về hằng đẳng thức

Ví dụ một. Phân tích đa thức $9x^2-6x+một$ thành nhân tử

phương pháp một:

Gợi ý: tùy từng hằng đẳng thức thứ nhì $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Lời giải:

$9x^2-6x+một=(3x)^2-2(3x).một+một^2=(3x-một)^2$

phương pháp 2:

Gợi ý:

$f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ với $x_1, x_2$ là nghiệm của đa thức $ax^2+bx+c$

Nghiệm của đa thức $ax^2+bx+c$ cũng đó là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$. Vậy thay thế thế vì phải mò mẫm nhẩm nghiệm của đa thức những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua nên giải phương trình bậc hai tương ứng sẽ tiết kiệm ngân sách được nhiều thời hạn và sức lực lao động

Lời giải:

Đa thức $9x^2-6x+một$ có một nghiệm kép là $frac{một}{3}$

=> $9x^2-6x+một=9left(x-frac{một}{3}right)left(x-frac{một}{3}right)=9left(x-frac{một}{3}right)^2=(3x-một)^2$

phương pháp 3:

$9x^2-6x+một$

$=9left(x^2-frac{6}{9}x+frac{một}{9}right)$

$=9left[left(frac{x^2}{x}-frac{frac{6}{9}x}{2x}right)^2-frac{1}{9}+frac{1}{9}right]$

$=9left[left(x-frac{1}{3}right)^2right]=9left(x-frac{một}{3}right)^2=(3x-một)^2$

Ví dụ 2. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức $A=a^2+b^2$ xác lập a, b là nghiệm của phương trình $x^2+2x+3=0$

phương pháp một:

Gợi ý:

tùy từng hẳng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ phân tích biểu thức $A=a^2+b^2$ thành tổng, tích của a, b
vận dụng định lí Viète

Lời giải:

$A=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

vận dụng định lí Viète vào phương trình $x^2+2x+3=0$ ta được hệ thức $left{begin{array}{ll}a+bvàamp;=-2\abvàamp;=3end{array}right.$

Suy ra $A=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(-2)^2-2.3=-2$

phương pháp 2 (Sử dụng máy tính Casio FX):

Gợi ý:

tùy từng phương trình tính toán Equation / Func, Complex
tùy từng tính năng gán nghiệm của phương trình vào những biến nhớ

phương pháp giải:

Bước một. Chọn phương thức tính toán Equation / Func => chọn Polynomial => nhấn phím số 2 (phương trình bậc 2)

hang-dang-thuc-dang-nho (1)

hang-dang-thuc-dang-nho (2)

hang-dang-thuc-dang-nho (3)

 

Bước 2. Nhập những thông số của phương trình …

hang-dang-thuc-dang-nho (4)

Bước 3. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím $(-)$

hang-dang-thuc-dang-nho (5)

hang-dang-thuc-dang-nho (6)

Bước bốn. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím ${}^o~^{‘}~~^{”}$

hang-dang-thuc-dang-nho (7)

hang-dang-thuc-dang-nho (8)

Bước 5. Chọn phương thức Complex

hang-dang-thuc-dang-nho (9)

Bước 6. Nhập biểu thức $A^2+B^2$ => nhấn phím =

hang-dang-thuc-dang-nho (10)

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $left{begin{array}{ll}x+yvàamp;=2 \ x^2+y^2vàamp;=bốnend{array}right.$

phương pháp một:

Gợi ý:

tùy từng hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
tùy từng định lí Viète hòn đảo

Lời giải:

$left{begin{array}{ll}x+yvàamp;=2 \ x^2+y^2vàamp;=bốnend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}x+yvàamp;=2 \ (x+y)^2-2xyvàamp;=bốnend{array}right.$

Đặt $S=x+y, Phường=xy$ ta được hệ phương trình $left{begin{array}{ll}Svàamp;=2 \ S^2-2Pvàamp;=bốnend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}Svàamp;=2 \ 2^2-2Pvàamp;=bốnend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}Svàamp;=2 \ Pvàamp;=0end{array}right.$

Theo định lí Viète hòn đảo $x, y$ sẽ là nghiệm của phương trình $X^2-SX+Phường=0 Leftrightarrow X^2-2X=0$

Giải phương trình $X^2-2X=0$ ta được hai nghiệm là $X=0, X=2$

=> Vậy hệ phương trình từng từng từng với có hai nghiệm là $(0; 2)$ và $(2; 0)$

phương pháp 2:

Gợi ý:

tùy từng phương pháp thế
tùy từng hằng đẳng thức $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ để khai triển, rút gọn đa thức; giải phương trình

Lời giải:

$left{begin{array}{ll}x+yvàamp;=2 \ x^2+y^2vàamp;=bốnend{array}right.$

$Leftrightarrow left{begin{array}{ll}xvàamp;=2-y \ (2-y)^2+y^2vàamp;=bốnend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}xvàamp;=2-y \ 2y^2-4y+4vàamp;=bốnend{array}right.$

Giải phương trình $2y^2-4y+bốn=bốn$ ta được hai nghiệm là $y=0$ và $y=2$

  • thay thế thế $y=0$ vào phương trình $x=2-y$ ta được $x=2$
  • thay thế thế $y=2$ vào phương trình $x=2-y$ ta được $x=0$

=> Vậy nghiệm của hệ phương trình từng từng từng với là $(2; 0)$ và $(0; 2)$

phương pháp 3:

Gợi ý:

Vẽ phương trình đường thẳng $x+y=2$ và phương trình tròn $x^2+y^2=bốn$ trên cùng một hệ tọa độ.
Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số vừa vẽ.

Lời giải:

hang-dang-thuc-dang-nho (11)

xem hai đồ thị của hàm số ta thấy chúng có hai giao điểm là $A=(0; 2) và B=(2; 0)$

Dự kiến $(0; 2) và $(2; 0)$ là nghiệm của hệ phương trình từng từng từng với

thay thế thế $(0; 2) và $(2; 0)$ vào hệ phương trình ta được …

$left{begin{array}{ll}0+2vàamp;=2 \ 0^2+2^2vàamp;=bốnend{array}right.$ và $left{begin{array}{ll}2+0vàamp;=2 \ 2^2+0^2vàamp;=bốnend{array}right.$

những hệ thức trên đều luôn là ĐÚNG

=> Vậy $(0; 2) và $(2; 0)$ là nghiệm của hệ phương trình từng từng từng với

V. Lời kết

Vâng, trên đó là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và những hằng đẳng thức mở rộng quan trọng nhất.

những hằng đẳng thức mà tôi vừa trình diễn đều luôn từng từng từng được chứng tỏ, nếu muốn chứng tỏ lại thì những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua hãy thử quy đổi vế trái thành vế phải (nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn).

Tuy nhiên mình không khuyến khích những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua triển khai như vậy, chỉ tốn thời hạn chứ không được quyền lợi gì cả.

thay thế thế vào đó những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua nên dành thời hạn để rèn luyện thêm, triển khai thêm những ví dụ để ghi nhớ và vận dụng thành thạo những hằng đẳng thức đáng nhớ này. Xin Chào thân ái và hẹn hội ngộ những những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua trong những nội dung bài viết tiếp theo ha !

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

nội dung bài viết đạt: 3/5 sao – (Có bốn lượt nhận định)

Note: vừa rồi hữu ích với những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua chứ? không quên nhận định nội dung bài viết, like và sẻ chia với những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua bè và người thân trong gia đình của những những những những những những những bạn đọc xem qua xem qua xem qua xem qua xem qua nhé !

Written by 

Leave a Reply

Your email address will not be published.