Định lý Viet của phương trình bậc hai và phương trình bậc ba

Rate this post

vào tầm khoảng tầm đầu thế kỉ thứ XVII thì nhà Toán học tài ba người Pháp François Viète từng tìm ra mối liên lạc trong những nghiệm với những thông số của phương trình bậc hai.

Cái mà thời đại này toàn bộ chúng ta vẫn gọi là định lý / hệ thức Viet (Vi-Ét)!

tên thường gọi này là trọn vẹn thích hợp vì nó vừa chuyên nghiệp vừa ghi nhớ công lao của người từng tìm ra nó. Và tại trong nội dung bài viết ngày thời khắc ngày hôm nay, toàn bộ chúng ta sẽ cùng nhau phát biểu lại định lý Viet và tìm hiểu thêm một số trong những ứng dụng thường gặp của định lý này nhé !

I. Định lý Viet của phương trình bậc hai

Nếu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ thì $left{begin{array}{ll}x_1+x_2vàamp;=frac{-b}{a} \ x_1x_2vàamp;=frac{c}{a}end{array}right.$

II. Định lý Viet (Vi-Ét) của phương trình bậc ba

Nếu $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì $left{begin{array}{ll}x_1+x_2+x_3vàamp;=frac{-b}{a} \ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3vàamp;=frac{c}{a} \ x_1x_2x_3vàamp;=frac{-d}{a}end{array}right.$

III. Định lý Viet đúng với …

Phương trình số 1 tới phương trình bậc n chứ không phải chỉ có bậc hai và bậc ba nhé những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu.
Trường hợp nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn và bội lẻ.
Trường hợp nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỉ, nghiệm thực và nghiệm phức.

IV. một số trong những ứng dụng thường gặp của định lý Viet

Định lý Viet của phương trình bậc ba và những bậc quá quá quá cao hơn nữa thì toàn bộ chúng ta sẽ tối thiểu gặp hơn, giản dị là vì chúng tối thiểu được ứng dụng trong ứng dụng Toán học Trung học.

Vậy nên tại vừa rồi tôi chỉ triệu tập hướng dẫn so với định lý Viet của phương trình bậc hai thôi nha những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu.

Định lý Viet của phương trình bậc hai có thật nhiều ứng dụng trong việc giải bài tập, dưới đó là một số trong những ứng dụng vượt trội:

  • Nhẩm nghiệm của phương trình.
  • Tìm hai số trong lúc rõ được tổng và tích.
  • Tính giá trị biểu thức (biểu thức thử phương pháp trình diễn thành đa thức đối xứng).
  • Giải hệ phương trình đối xứng.
  • Xét dấu của những nghiệm.

#một. Nhẩm nghiệm của phương trình

so với phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$, nếu có …

  • $a+b+c=0$ thì $x_1=một, x_2=frac{c}{a}$
  • $a-b+c=0$ thì $x_1=-một, x_2=frac{-c}{a}$

Ví dụ một. Giải phương trình $x^2+2x-3=0$

Lời giải:

Vì phương trình bậc hai từng so với có $một+2+(-3)=0$ nên $x_1=frac{một}{một}=một, x_2=frac{-3}{một}=-3$

Vậy phương trình bậc hai từng so với có hai nghiệm phân biệt là $một, -3$

Nhận xét: Ngoài phương pháp sử dụng hệ quả của định lý Viet thì toàn bộ chúng ta vẫn vẫn vẫn vẫn vẫn thật nhiều phương pháp để giải phương trình bậc hai này (tính $Delta$, tính $Delta’$, đồ thị, …). Tuy nhiên phương pháp trên là tối ưu nhất !

#2. Tìm hai số trong lúc rõ được tổng và tích

so với hai số thức $a, b$ bất kỳ, nếu $a+b=S$ và $ab=Phường$ thì $a, b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-Sx+Phường=0$

Ví dụ 2. Tìm hai số thực $a, b$ rõ được tổng của chúng trải qua $2$ và tích của chúng trải qua $-3$

Lời giải:

Theo giả thuyết ta có $a+b=2$ và $ab=-3$, lúc bấy giờ $a, b$ là nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-2x-3=0 Leftrightarrow x_1=3, x_2=-một$

Vậy hai số $a, b$ hãy tìm lần lượt là $3, -một$ hoặc $-một, 3$

Nhận xét: Phương trình bậc hai $x^2-2x-3=0$ thử phương pháp giải nhanh trải qua phương pháp nhẩm nghiệm $một-(-2)+(-3)=0$ tương tự động hóa như Ví dụ một

#3. Tính giá trị biểu thức (biểu thức thử phương pháp trình diễn thành đa thức đối xứng)

Không phải giá trị của biểu thức nào thì cũng thử phương pháp tính được trải qua phương pháp sử dụng định lý Viet. Chỉ những biểu thức thử phương pháp trình diễn thành những đa thức đối xứng new thử phương pháp tính được nhé những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu.

Dưới đó là một số trong những biểu thức thử phương pháp trình diễn thành đa thức đối xứng thường gặp nhất:

  • $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
  • $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
  • $x^2+y^2+x^2=(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)$

Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức $x_1^2+x^2$ rõ được $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $7x^2+11x-13=0$

thường thì trong lúc đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức mà giá trị nó lại được xem trải qua nghiệm của phương trình thì toàn bộ chúng ta tránh việc giải phương trình  vì nghiệm thường rất xấu.

thay thế đổi vào đó toàn bộ chúng ta nên có gắng quy đổi biểu thức từng so với thành những đa thức đối xứng rồi sử dụng định lý Viet.

Lời giải:

phương pháp một. Sử dụng định lý Viet

giản dị thấy $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

Mặc nữa $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai $7x^2+11x-13=0$ nên ta có hệ thức $left{begin{array}{ll}x_1+x_2vàamp;=frac{-11}{7}\x_1x_2vàamp;=frac{-13}{7}end{array}right.$

Suy ra $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=left(frac{-11}{7}right)^2-2left(frac{-13}{7}right)=frac{303}{49}$

Vậy => giá trị của biểu thức từng so với là $frac{303}{49}$

phương pháp 2. Sử dụng máy tính CASIO

Tuy nghiệm của phương trình từng so với rất xấu tuy vậy với việc tương hỗ của dòng siêu phẩm tính CASIO fx-580VN X thì toàn bộ chúng ta vẫn thử phương pháp tính được giản dị.

quan tâm: phương pháp này chỉ sử dụng để test tình trạng thôi nha những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu !

Bước một. Chọn phương thức tính toán Equation / Func

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (1)

Bước 2. Chọn Polynomial

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (2)

Bước 3. Chọn bậc của phương trình. Vì hãy giải phương trình bậc hai nên mình sẽ trỏ chuột tới phím số 2

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (3)

Bước bốn. Lần lượt nhập những thông số của phương trình …

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (4)

Bước 5. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím $(-)$

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (5)

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (6)

Bước 6. Nhấn phím = => nhấn phím STO => nhấn phím ${}^o~’~”$

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (7)

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (8)

Bước 7. Chọn phương thức tính toán Calculate

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (9)

Bước tám. Nhập biểu thức $A^2+B^2$ => nhấn phím =

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (10)

quan tâm: Nếu nghiệm của phương trình từng so với là nghiệm phức thì tại Bước 7 toàn bộ chúng ta phải chọn phương thức tính toán Complex

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (11)

#bốn. Giải hệ phương trình đối xứng

Ví dụ bốn. Giải hệ phương trình $left{begin{array}{ll}x^2+y^2vàamp;=bốn\x^3+y^3vàamp;=támend{array}right.$

Lời giải:

$left{begin{array}{ll}x^2+y^2vàamp;=bốn\x^3+y^3vàamp;=támend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}(x+y)^2-2xyvàamp;=bốn\(x+y)^3-3xy(x+y)&=támend{array}right.$

Đặt $x+y=S, xy=Phường$ ta được hệ phương trình $left{begin{array}{ll}S^2-2Pvàamp;=bốn\S^3-3PSvàamp;=támend{array}right. Leftrightarrow left{begin{array}{ll}Pvàamp;=-2+frac{một}{2}S^2\S^3-3left(-2+frac{một}{2}Sright)Svàamp;=támend{array}right.$

Giải hệ phương trình trên ta được hai nghiệm là $(-bốn, 6)$ và $(2, 0)$

Trường hợp một $x+y=-bốn, xy=6$

$x, y$ là nghiệm của phương trình $X^2+4X+6=0 Leftrightarrow X^2+4X+6=(X+2)^2+2=0$

Như vậy => phương trình $X^2+4X+6=0$ vô nghiệm !

Trường hợp 2 $x+y=2, xy=0$

$x, y$ là nghiệm của phương trình $X^2-4X=0 Leftrightarrow X(X-bốn)=0$

Suy ra phương trình $X^2-4X=0$ có hai nghiệm là $0, 2$

Vậy => nghiệm của hệ phương trình từng so với là $(0,2)$ và $(2,0)$

Nhận xét:

  • Nếu những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu thử phương pháp vẽ được hai phương trình này lên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy thì nên sử dụng phương pháp đồ thị.
  • Với Ví dụ bốn Phương pháp đồ thị là một một lựa chọn tối ưu.

dinh-ly-viet-cua-phuong-trinh-bac-hai-va-bac-ba (12)

xem đồ thị toàn bộ chúng ta giản dị nhận ra chúng có hai giao điểm, tạo độ của hai giao điểm này đó là nghiệm của phương trình từng so với.

V. Lời kết

Vậy là toàn bộ chúng ta từng hoàn thành xong việc phát biểu lại định lý Viet, hoặc là việc vận dụng định lý Viet vào giải một số trong những dạng toán thường gặp rồi ha,

Với những kỹ năng nền tảng mà tôi vừa mới được vừa lòng nhu yếu/ ôn lại phía bên trên thì giờ đây những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu từng thử phương pháp tự động hóa tin, tự động hóa tìm hiểu, tự động hóa phân tích những mảng kỹ năng quá quá quá cao hơn nữa rồi đó. Xin Chào thân ái và hẹn tái ngộ những những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu trong những nội dung bài viết tiếp theo !

tìm hiểu thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

nội dung bài viết đạt: 5/5 sao – (Có một lượt nhận định và định hình)

Note: vừa rồi hữu ích với những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu chứ? tránh quên nhận định và định hình nội dung bài viết, like và sẻ chia so với những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu bè và người thân trong gia đình của những những những những những những những những những bạn tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu tìm hiểu nhé !

Written by 

Leave a Reply

Your email address will not be published.